ЛЕКЦИЯ 23

ПОМЕХОУСТОЙЧИВЫЕ КОДЫ И ГРАНИЦЫ ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБОЧНОГО ДЕКОДИРОВАНИЯ

23.1 Принципы обнаружения и исправления ошибок

22.2 Классификация помехоустойчивых кодов

23.3 Основные характеристики помехоустойчивых кодов

23.4 Границы вероятности ошибочного декодирования

23.1 Принципы обнаружения и исправления ошибок

В реальных условиях прием двоичных символов всегда происходит с ошиб­ками, когда вместо символа 1 принимается символ

0 и наоборот. Ошибки могут возникать из-за помех, действующих в канале связи (особенно помех импульсно­го характера),

изменения за время передачи характеристик канала (например, за­мирания), снижения уровня передачи, нестабильности

амплитудно- и фазочастотных характеристик канала и т. п.

Общепринятым критерием оценки качества передачи в дискретных каналах является нормированная на знак или символ

допустимая вероятность ошибки для данного вида сообщений. Так, допустимая вероятность ошибки при телеграфной связи

может составлять

3

10

-

(на знак), а при передаче данных — не более

6

10

-

(на символ). Для обеспечения таких значений

вероятностей одного улучшения только качественных показателей канала связи может оказаться недостаточным. Поэтому

основной мерой является применение специальных методов повышения качества приема передаваемой информации. Эти

методы можно разбить на две группы.

К первой группе относятся методы увеличения помехоустойчивости приема единичных элементов (символов) дискретной

информации, связанные с выбором уровня сигнала, отношения сигнал/помеха (энергетические характеристики), ши­рины

полосы канала, методов приема и т. д.

Ко второй группе относятся методы обнаружения и исправления ошибок, основанные на искусственном введении избыточности

в передаваемое сообщение. Наиболее эффективно избыточность используется при применении помехоустой­чивых

(корректирующих) кодов.

При передаче данных осуществляется объединение отдельных единичных элементов в кодовые комбинации, по которым

определяется принятое сообщение. У обычного (не помехоустойчивого) кода для каждой кодовой комбинации во всей

совокупности есть другая комбинация, отличающаяся от первой лишь одним разрядом. При искажении одного из разрядов

кодовая комбинация превратится в другую и поэтому принятое сообщение будет выдано с ошибкой.

Помехоустойчивое, или избыточное,

кодирование применяется для обнару­жения и (или) исправления ошибок, возникающих

при передаче по дискретно­му каналу. Отличительное свойство помехоустойчивого кодирования состоит в том, что

избыточность источника, образованного выходом кодера, больше, чем избыточность источника на входе кодера.

Помехоустойчивое кодирование ис­пользуется в различных системах связи, при хранении и передаче данных в сетях ЭВМ, в

бытовой и профессиональной аудио- и видеотехнике, основан­ной на цифровой записи.

При использовании помехоустойчивого кода передаются в канал не все кодовые комбинации, которые можно сформировать из

имеющегося числа разрядов, а лишь обладающие определенным свойством, и называемые разрешенными. Другие

неиспользованные комбинации называются запрещенными. Введение дополнительных отличных признаков в переданные

комбинации позволяет существенно повысить правильность приема. Помехоустойчивые коды подразделяются на коды, которые

обнаруживают ошибки, и коды, которые исправляют ошибки.

Для двоичного кода все множество кодовых комбинаций равно

N

=2

n

.

При использовании кодов, обнаруживающих ошибки, все

множество

n

-разрядных комбинаций разбивается на два непересекающихся подмножества. Одно подмножество называется

разрешенной, а другое запрещенной (рис 23.1 а). Эти подмножества известны как на передающей, так и на приемной сторонах.

Если в результате искажений передаваемых кодов комбинация перейдет в подмножество запрещенных комбинаций, то ошибка

будет обнаружена. Такие коды позволяют только определить наличие ошибок, но не указывающие номер искаженных разрядов.

Передаются только разрешенные кодовые комбинации, которые имеют определенное свойство. Если принятая кодовая

комбинация относится к разрешенным, то считается, что ошибки нет.

При необходимости исправления некоторых возникающих искажений поступают следующим образом. Все множество кодовых

комбинаций

N

разбивают на

N

0<

N

непересекающихся подмножеств. Каждое из этих подмножеств, приписывается к одной из

N

0 разрешенных комбинаций (рис 23.1 б). В каждом подмножестве существует одна разрешенная комбинация. Если принятая

комбинация

Аj

входит в подмножество

N

0j (

Aj

О

N

oj), то принимается решение, что передана комбинация

Aj

. То есть, если

принятая кодовая комбинация осталась в том же подмножестве, что и передаваемая, то прием будет без ошибки. Если кодовая

комбинация в результате искажений переходит в другое подмножество, то прием будет с ошибкой.

Коды, которые не только обнаруживают ошибку, но и указывают номер искаженной позиции, называются кодами с

исправлением ошибок.

Как было сказано выше при использовании помехоустойчивого кода в канале связи передаются только разрешенные кодовые

комбинации. Если бы не было помех, то для передачи этих кодовых комбинаций потребовалось бы меньшее число разрядов

m

:

n

N

m

<

=

0

2

log

(23.1)

Таким образом, обнаружение и исправление возникающих в каналах связи ошибок достигается за счет введения в

передаваемые кодовые комбинации избыточных разрядов.

Рассмотрим возможность обнаружения и исправления ошибок на простейшем примере. Предположим, что информация

передается одноразрядным двоичным кодом. То есть передается информация 0 или 1. Число возможных кодовых комбинаций

m

N

2

0

=

, где

1

=

m

,

2

2

1

0

=

=

N

.

В каждой кодовой комбинации добавим еще один разряд:

2

1

1

1

=

+

=

+

=

m

n

.

Число кодовых комбинаций

4

2

2

0

=

=

N

.

Эти комбинации составляют множество, состоящее из:

00, 01, 10, 11.

Это множество разделим на два подмножества разрешенных и запрещенных комбинаций. К числу разрешенных отнесем те

комбинации, у которых сумма единиц или нулей всегда четная – это комбинации:

00 и 11.

При таком выделении разрешенных комбинаций любая одиночная (или нечетная) ошибка будет изменять число единиц на

нечетное. Принятая кодовая комбинация в этом случае переходит в подмножество запрещенных и ошибка будет обнаружена

(рис. 23.2).

Если в кодовую комбинацию ввести количество дополнительных разрядов, то можно не только обнаруживать, но и исправлять

ошибки. Если разрешенные комбинации определить таким образом, что любые из них отличаются друг от друга не менее чем

тремя разрядами, то одиночная ошибка может быть исправлена. Возможность исправления одиночной ошибки в этом случае

связана с тем, что ошибочная комбинация будет отличаться от истинной только одним разрядом и останется в области,

относящейся к передаваемой разрешенной комбинации.

Рис. 23.3. Геометрическая модель помехоустойчивого кода

Рассмотрим сказанное на геометрической модели трехразрядного двоичного кода при помощи которого можно получить 23=8

комбинаций. А именно: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Каждую новую комбинацию можно представить точкой в

трехмерном пространстве (рис. 22.3).

Для исправления одиночной ошибки разобьем все множества комбинаций на две области, и будем передавать только две

кодовые комбинации 110 и 001. Эти комбинации отличаются друг от друга тремя разрядами. Любая одиночная ошибка

оставляет кодовую комбинацию в области, относящейся к передаваемой комбинации. Так, при искажении одного разряда в

комбинации 001 она превратится в 000, или в 100, или в 101. Все эти комбинации находятся в той же области, что и комбинация

001.

Рассмотренные примеры показывают, что для обнаружения одиночных ошибок кодовые комбинации должны различаться не

менее чем двумя разрядами. Для исправления одиночной ошибки кодовые комбинации должны различаться не менее чем

тремя разрядами.

Это различие именуют кодовым (Хэминговым) расстоянием. Под

кодовым расстоянием

понимают минимальное число

позиций, на которых символы данной кодовой комбинации отличаются от символов другой кодовой комбинации. Например, для

показанных на рисунке 23.4, кодовое расстояние

d

равно 3.

Рис. 23.4. Кодовое расстояние между двумя кодовыми комбинациями

Поэтому можно сказать, что возможности по обнаружению или исправлению ошибок определяются числом позиций, на которых

отличаются разрешенные кодовые комбинации, то есть кодовым расстоянием.

Кодовое расстояние между

i

-ю и

j

-ю кодовыми комбинациями

ij

d

определяется по формуле

(

)

е

=

Е

=

n

k

ik

jk

ij

x

x

d

1

, (23.2)

где

ik

jk

x

x

,

- значение символов

k

-й позиции

j

-й и

i

-й кодовых комбинаций, знак Е означает суммирование по модулю 2

(правила сложения по модулю 2: (1+1=0; 1+0=0+1=1; 0+0=0).

22.2 Классификация помехоустойчивых кодов

Первые работы по помехоустойчивым кодам принадлежат Хэммингу, который ввел понятие

минимального кодового

расстояния

min

d

и предложил код, позволяю­щий однозначно указать ту позицию в кодовой комбинации, где произошла

ошибка. К

т

информационным элементам в коде Хэмминга добавляется

k

проверочных элементов для автоматического

определения местоположения ошибочного символа.

В настоящее время разработано большое количество помехоустойчивых кодов.

Все эти коды подразделяются на блочные и непрерывные (рис. 22.5).

Помехоустойчивые

коды

Блочные

коды

Непрерывные

коды

Равномерные

Неравномерные

Систематические

Несистематические

Линейные

Нелинейные

Циклические

Коды Хемминга

Коды с постоянным

весом

Систематические

Цепной код

Несистематический

Сверточный код

Рис.23.5 Классификация помехоустойчивых кодов

К блочным относятся коды, в которых каждому сообщению относится в однозначное соответствие блок из

n

символов.

Непрерывные коды представляют непрерывную последовательность информационных и проверочных разрядов. Блочные коды

разделяются на равномерные и неравномерные. Равномерные коды имеют постоянную длину кодовой комбинации. Блочные и

непрерывные коды разделяются на систематические и несистематические. Под систематическим понимают код, в котором

разряды могут быть разделены на проверочные и информационные. При этом их места в кодовой комбинации точно

определены. Обычно в систематическом коде каждое кодовое слово начинается с информационных символов и заканчивается

проверочными символами. Несистематические коды этим свойством не обладают.

Кроме того коды разделяются на линейные и нелинейные.

Линейными кодами являются такие, в которых сумма по модулю 2 двух разрешенных комбинаций дает разрешенную

комбинацию того же кода. Нелинейные коды отмеченным свойством не владеют. Для линейного кода применяется обозначение

(

n

,

m

) код, где

n

– число всех разрядов в кодовой комбинации;

m

– число информационных разрядов.

Большинство кодов, применяемых на практике, относится к линейным.

23.3 Основные характеристики помехоустойчивых кодов

В настоящее время наибольшее внимание с точки зрения технических при­ложений уделяется двоичным блочным

корректирующим кодам. При использова­нии блочных кодов цифровая информация передается в виде отдельных кодовых

комбинаций (блоков) одинаковой длины. Кодирование и декодирование каждого блока осуществляется независимо друг от

друга.

Почти все блочные коды относятся к разделимым кодам, кодовые комбина­ции которых состоят из двух частей:

информационной и проверочной. При общем числе

п

символов в блоке число информационных символов равно

т,

а число

про­верочных символов

m

n

k

-

=

.

(23.3)

К основным характеристикам корректирующих кодов относятся:

число разрешенных и запрещенных кодовых комбинаций;

избыточность кода;

минимальное кодовое расстояние;

число обнаруживаемых или исправляемых ошибок;

корректирующие возможности кодов.

Число разрешенных и запрещенных кодовых комбинаций

Для блочных двоичных кодов, с количеством символов в блоках, равным

n

, общее

число возможных кодовых комбинаций

определяется значением

n

N

2

0

=

.

(23.4)

Число разрешенных кодовых комбинаций

при наличии

т

информационных разрядов в первичном коде равно

m

m

N

2

=

.

(23.5)

Очевидно, что число запрещенных кодовых комбинаций равно

m

n

m

З

N

N

N

2

2

0

-

=

-

=

,

(23.6)

а с учетом (23.3) отношение составит

k

m

n

m

N

N

2

2

0

=

=

-

,

(23.7)

где

k

— число избыточных (проверочных) разрядов в блочном коде.

Избыточность корректирующего кода

Ибыточностью корректирующего кода называют величину

n

m

n

m

n

n

k

r

-

=

-

=

=

1

,

(23.8)

откуда следует

r

n

m

B

m

-

=

=

1

.

(23.9)

Эта величина показывает, какую часть общего числа символов кодовой комбинации составляют информационные символы. В

теории кодирования вели­чину

m

B

называют

относительной скоростью кода.

Если производительность ис­точника

информации равна

)

(

'

X

H

символов в секунду, то скорость передачи информации после кодирования будет составлять

n

m

X

H

I

)

(

'

'

=

(23.10)

поскольку в закодированной последовательности из каждых

n

символов только

m

являются информационными.

Если в системе связи используются двоичные сигналы (сигналы типа "1" и "0") и каждый единичный элемент несет не более

одного бита информации, то между скоростью передачи информации и скоростью модуляции существует соотношение

n

m

B

I

=

'

,

где

'

I

- скорость передачи информации, бит/с;

B

- скорость модуляции, Бод.

C точки зрения внесения постоянной избыточности в кодовую комбинацию выгодно выбирать длинные кодовые комбинации, так

как с увеличением

n

относительная пропускная способность

n

m

B

I

C

o

=

=

'

.

увеличивается, стремясь к пределу, равному 1.

Если число ошибок, которые нужно обнаружить или исправить, велико, то необходимо иметь код с большим числом

проверочных символов. Чтобы при этом скорость передачи оставалась достаточно высокой, необходимо в каждом кодовом

блоке одновременно увеличивать как общее число символов, так и число инфор­мационных символов. При этом длительность

кодовых блоков будет существенно возрастать, что приведет к задержке информации при передаче и приеме. Чем сложнее

кодирование, тем длиннее временная задержка информации.

Минимальное кодовое расстояние

Ранее было установлено, что для того, чтобы можно было обнаруживать и исправлять ошибки, разрешен­ная комбинация

должна как можно больше отличаться от запрещенной. Если ошибки в канале связи действуют независимо, то вероятность

преобразования од­ной кодовой комбинации в другую будет тем меньше, чем большим числом симво­лов они различаются.

Если интерпретировать кодовые комбинации как точки в пространстве, то отличие выражается в близости этих точек, т.е. в

расстоянии между ними.

Количество разрядов (символов), которыми отличаются две кодовые комби­нации, принято за кодовое расстояние между ними.

Для определения этого расстояния нужно сложить две кодовые комбинации по модулю 2 и подсчитать число единиц в

полученной сумме. Например, две кодовые комбинации

01011

=

i

x

и

10010

=

j

x

имеют расстояние

3

)

,

(

=

j

i

x

x

d

, так

как

.

3

)

,

(

11001

________

__________

2

10010

3

01011

=

®

=

®

=

Е

=

®

=

j

i

j

i

x

x

d

W

x

W

x

(23.11)

Заметим, что кодовое расстояние

)

,

(

0

x

x

d

i

между комбинацией

i

x

и нулевой

0

...

00

0

=

x

называют

весом

W

комбинации

i

x

,

т. е. вес

i

x

равен числу «1» в ней.

Расстояние между различными комбинациями некоторого конкретного кода могут существенно отличаться. Так, в частности, в

безизбыточном первичном на­туральном коде (

m

n

=

)

это расстояние для различных комбинаций может изме­няться от

единицы до величины

п,

равной значности кода. Особую важность для характеристики корректирующих свойств кода имеет

минимальное кодовое рас­стояние

min

d

, определяемое при попарном сравнении всех кодовых комбинаций, которое

называют расстоянием Хэмминга.

В безизбыточном коде все комбинации являются разрешенными, и, следо­вательно, его минимальное кодовое расстояние

равно единице

1

min

=

d

. Поэто­му достаточно исказить один символ, чтобы вместо переданной комбинации была принята

другая разрешенная комбинация. Чтобы код обладал корректирующими свойствами, необходимо ввести в него некоторую

избыточность, которая обеспе­чивала бы минимальное расстояние между любыми двумя разрешенными комби­нациями не

менее двух

2

min

і

d

.

Минимальное кодовое расстояние является важнейшей характеристикой помехоустойчивых кодов, указывающей на

гарантируемое число обнаруживае­мых или исправляемых заданным кодом ошибок.

Число обнаруживаемых или исправляемых ошибок

При применении двоичных кодов учитывают только дискретные искажения, при которых единица переходит в нуль (1

®

0) или

нуль переходит в единицу (0

®

1). Переход 1

®

0 или 0

®

1 только в одном элементе кодовой комбинации называют

единичной ошибкой

(или

единичным искажением).

В общем случае под кратностью ошибки подразумевают число позиций

кодовой комбинации, на кото­рых под действием помехи одни символы оказались замененными на другие. Возможны

двукратные (

2

=

t

) и многократные (

2

>

t

) искажения элементов в кодо­вой комбинации в пределах

n

t

<

<

0

.

Минимальное кодовое расстояние является основным параметром, характе­ризующим корректирующие способности данного

кода. Если код используется только для обнаружения ошибок кратностью

o

t

, то необходимо и достаточно, что­бы минимальное

кодовое расстояние было равно (рис.23.6)

1

min

+

і

o

t

d

.

(23.12)

Рис. 23.6. Геометрическая модель кода

В этом случае никакая комбинация из

o

t

ошибок не может перевести одну разрешенную кодовую комбинацию в другую

разрешенную. Таким образом, ус­ловие обнаружения всех ошибок кратностью

o

t

можно записать в виде:

1

min

-

Ј

d

t

o

. (23.13)

Чтобы можно было исправить все ошибки кратностью

и

t

и менее, необхо­димо иметь минимальное расстояние,

удовлетворяющее условию:

1

2

min

+

і

и

t

d

.

(23.14)

В соответствии с этим условие исправления всех ошибок кратностью не более

и

t

можно записать в виде:

(23.15)

Из (23.13) и (23.15) следует, что если код исправляет все ошибки кратностью

,

то число ошибок, которые он может

обнаружить, равно

и

o

t

t

2

=

.

Аналогично можно показать, что для одновременного исправления ошибок кратности

tu

и обнаружения ошибок кратности

tо

кодовое расстояние должно быть равно:

1

0

min

+

+

і

u

t

t

d

.

Следует отметить, что соотношения (23.13) и (23.15) устанавливают лишь гарантированное минималыюе число обнаруживаемых

или исправляемых ошибок при заданном

min

d

и не ограничивают возможность обнаружения ошибок большей кратности.

Например, простейший код с проверкой на четность с

2

min

=

d

позволяет обнаруживать не только одиночные ошибки, но и

любое нечетное число ошибок в пределах

n

t

o

<

.

Из этих выражений видно, что

и

t

t

2

0

=

.

Корректирующие возможности кодов

Вопрос о минимально необходимой избыточности, при которой код облада­ет нужными корректирующими свойствами, является

одним из важнейших в тео­рии кодирования. Этот вопрос до сих пор не получил полного решения. В на­стоящее время получен

лишь ряд верхних и нижних оценок (границ), которые устанавливают связь между минимальным расстоянием корректирующего

кода и его избыточностью.

Так,

граница Плоткина

определяет верхнюю границу кодового расстояния

min

d

при заданном числе разрядов

n

в кодовой

комбинации и числе информацион­ных разрядов

т

для двоичных кодов:

1

2

2

1

min

-

Ј

-

m

m

n

d

(23.16)

или

min

2

min

log

)

1

(

2

d

d

k

-

-

і

, при

1

2

min

-

і

d

n

.

(23.17)

Верхняя граница Хэмминга

устанавливает максимально возможное число разрешенных кодовых комбинаций

m

2

любого

помехоустойчивого кода при за­данных значениях

n

и

min

d

:

е

-

=

Ј

2

1

0

2

min

log

2

2

d

i

i

n

n

m

C

,

(23.18)

где

i

n

C

— число сочетаний из

n

по

i

элементов, которое рассчитывается согласно выражения

)!

(

!

!

i

n

i

n

C

i

n

-

=

.

Отсюда можно получить выражение для оценки числа проверочных символов:

е

-

=

і

2

1

0

2

min

log

d

i

i

n

C

k

.

(23.19)

Граница Варшамова - Гильберта

для больших значений

п

определяет нижнюю границу для числа проверочных разрядов,

необходимого для обеспечения заданного кодового расстояния:

е

-

=

-

і

2

0

1

2

min

log

d

i

i

n

C

k

.

(23.20)

Отметим, что для некоторых частных случаев Хэмминг получил простые со­отношения, позволяющие определить необходимое

число проверочных символов:

)

1

(

log

2

+

і

n

k

для

3

min

=

d

,

)

2

(

log

2

n

k

і

для

4

min

=

d

,

Блочные коды с

3

min

=

d

и

4

min

=

d

в литературе обычно называют

кодами Хэмминга.

Все приведенные выше оценки дают представление о верхней границе чис­ла

при фиксированных значениях

и

или определяют минимальное число проверочных символов

: при заданных

и

.

Существующие методы построения избыточных кодов в основном решают задачу нахождения такого алгоритма кодирования и

декодирования, который по­зволял бы наиболее просто построить и реализовать код с заданным значением

min

d

. Поэтому

различные корректирующие коды при одинаковых

min

d

сравнивают­ся по сложности кодирующего и декодирующего

устройств. Этот критерий явля­ется в ряде случаев определяющим при выборе того или иного кода.

23.4 Границы вероятности ошибочного декодирования

Помехоустойчивость кода можно оценить вероятностью искажения (ошибки) символов дискретных сообщений которые

передаются кодовыми комбинациями. Выше отмечалось, что по мере увеличения избыточности кода его помехоустойчивость

улучшается. Однако реальная помехоустойчивость кодов с избыточностью зависит и от конкретного способа приема

(регистрации) кодов комбинаций (символов). Применяется поэлементный прием и прием в целом кодовых комбинаций.

При поэлементном приеме осуществляется регистрация каждого из символов, составляющих кодовую комбинацию.

Последовательность поочередно принятых сигналов образует кодовую комбинацию, которая регистрируется декодером и

подается на устройство преобразования кодовых комбинаций в символы сообщения.

При приеме в целом производится регистрация кодовых сигналов. Под

кодовым сигналом

при этом принимается вся

последовательность элементарных сигналов, составляющих кодовую комбинацию.

Предположим, что вероятность искажения отдельного сигнала в кодовой комбинации равна

p

. Будем полагать, что искажения

различных сигналов в кодовой комбинации статистически независимые (что является справедливым для каналов с постоянными

параметрами и флуктуационной помехой). Вероятность того, что при поэлементном приеме комбинация из

n

элементов содержит

равно

i

ошибок по биномиальному закону, равна

i

n

i

i

n

ош

i

p

p

C

p

-

-

=

)

1

(

,

(23.21)

где

p

- вероятность искажения одного элемента кодовой комбинации.

Вероятность правильной регистрации кодовой комбинации из

n

элементов равна вероятности того, что в ней содержится не

более

i

ошибок. Число ошибок

и

t

и менее исправляется кодом c

1

2

min

+

і

и

t

d

е

=

-

Ј

-

-

=

=

-

и

и

t

i

i

n

i

i

n

t

i

пр

ош

p

p

C

p

p

0

)

1

(

1

1

.

(23.22)

Помехоустойчивость кодов при приеме комбинаций кода в целом определяется через вероятность ее искажения

)

|

(

j

i

x

x

p

и

априорной вероятности передачи кодовой комбинации

)

(

i

x

p

е

=

=

M

i

i

j

i

ошM

x

p

x

x

p

p

1

)

(

)

|

(

(23.23)

где

М –

число всех кодовых комбинаций.

Если априорные вероятности всех кодовых комбинаций одинаковы и равны

PМ

=1/

М

то

е

=

=

M

i

i

ошM

x

p

M

p

1

)

(

1

.

(23.24)

Вероятность

)

|

(

j

i

x

x

p

будет тем меньшей, чем будет большим расстояние между функциями

)

(

t

x

i

и

)

(

t

x

j

, j=

1, 2

,…, М-

1. Функции

)

(

t

x

i

и

)

(

t

x

j

определяются кодовыми комбинациями (сигналами).

Для кодов с одинаковыми между всеми кодовыми комбинациями расстояниями (так называемыми

эквидистантные коды

), при

когерентном способе приема кодовых сигналов в канале связи с малыми значениями вероятности искажения символов в канале

[

]

)

2

/

1

(

1

2

1

)

1

(

2

T

h

Ф

M

p

ошM

g

-

-

»

,

(23.25)

где g=1 для канала для канала с ортогональными сигналами и g=2 – для канала с противоположными элементарными

сигналами;

h

2 - отношение энергии сигнала к удельной интенсивности помехи (отношение сигнал/шум);

dt

e

X

Ф

x

t

т

-

=

0

2

2

)

(

p

- известная в теории вероятностей функция Крампа (интеграл вероятности).