ТЕМА 8 ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Лекция 30
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННАЯ СИСТЕМА - СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
30.1 Характеристика входных потоков сообщений
30.2. Время обслуживания
30.3. Классификация систем массового обслуживания
.
30.4. Одноканальная система массового обслуживания с отказами и показательным законом времени
обслуживания.
30.5 Одноканальная система массового обслуживания с ожиданием и произвольным законом времени
обслуживания.
30.6. Многоканальная система массового обслуживания.
30.7. Характеристика бесприоритетных дисциплин обслуживания.
30.8 Характеристика дисциплины обслуживания разнородных сообщений с относительным приоритетом
.
30.9 Характеристика дисциплины обслуживания сообщений с абсолютным приоритетом.
Телекоммуникационная система (ТКС) представляет собой совокупность узлов, станций и линий связи различного назначения,
развёрнутых по единому плану для обеспечения обмена информацией между пользователями. Функционирование такой
системы заключается в обслуживании поступающего на его вход потока сообщений (требований, заявок ) с необходимым
качеством.
Обслуживание поступившего сообщения продолжается определённое время с целью его доставки от отправителя к получателю.
Обслуживающими устройствами в данном случае являются каналы связи, обеспечивающими обмен информацией между
различными абонентами. Каналы связи имеют ограниченные возможности, что приводит к созданию очередей. Таким образом,
ТКС представляет собой типичную систему массового обслуживания (СМО).
Одной из важных характеристик телекоммуникационной системы является время задержки сообщений в процессе доставки от
источника к потребителю. Результаты исследований времени задержки оказывают существенное влияние на выбор методов
информационного обмена, управление потоком и маршрутизацию. Поэтому важно понять природу и механизм задержки и как
эта задержка зависит от характеристик сети.
Методической основой анализа времени задержки сообщений является теория массового обслуживания. Однако её
использование часто требует определённых допущений и ограничений, поскольку без них в ряде случаев невозможно дать
количественной оценки. Тем не менее, такой подход позволяет получить полезные количественные результаты.
Целью теории массового обслуживания
является разработка математических методов определения основных
характеристик процессов массового обслуживания для количественных оценок качества функционирования обслуживающей
системы, в данном случае ТКС.
В общем случае сообщения на вход ТКС поступают в случайные моменты времени. Время, расходуемое на их обслуживание,
также часто является случайным. Поэтому эта теория основана на теории вероятностей и математической статистики.
30.1 Характеристика входных потоков сообщений
Потоком сообщений называется последовательность по времени однородных событий, появляющихся в общем случае в
случайные моменты времени. Поток называется регулярным, если сообщения следуют друг за другом через строго
определённые интервалы времени. Случайные потоки классифицируются по наличию у них следующих свойств.
Стационарность, т.е. вероятность попадания определённых сообщений на интервале времени ф зависит только от его длины и
не зависит, где на временной оси расположен этот интервал.
Отсутствие последствия, что означает независимость появления сообщений .
Ординарность, т.е. невозможность появления двух и более сообщений в один и тот же момент времени.
Поток, который обладает всеми этими свойствами, называют простейшим.
В зависимости от наличия или отсутствия указанных свойств случайные потоки подразделяются на:
- стационарные и нестационарные;
- с последствием или без последствия;
- ординарные или неординарные.
При решении практических задач наиболее часто используется простейший поток. Для этого потока число сообщений,
попадающих на любой участок, распределено по закону Пуассона, т.е. вероятность попадания
i
событий на интервале
времени
t
равно
(
)
t
i
i
e
i
t
t
Р
Ч
-
Ч
=
l
l
!
)
(
, (30.1)
где л - интенсивность входного потока
ч
ч
ш
ц
з
з
и
ж
секунда
события
.
Реальные потоки, как правило, не являются простейшими, т.к. имеет место последствия, неординарности и нестационарности.
Однако при исследованиях часто используется простейший поток. Это объясняется тем, простейший поток является наиболее
хаотичным. Если разработана система для обслуживания простейшего потока, то обслуживание этой системой любых других
потоков будет надёжнее. При расчёте системы массового обслуживания при условии воздействия простейшего потока система
ставится в наихудшие условия. Простейший поток в теории массового обслуживания играет такую же роль, как нормальный
закон распределения случайных величин в теории вероятностей. При суперпозиции поступивших случайных потоков образуется
суммарный поток, близкий по своим характеристикам к простейшему.
Для простейшего потока функция распределения интервалов времени между соседними событиями имеет вид
t
e
t
F
l
-
-
=
1
)
(
. (30.2)
Тогда плотность вероятностей интервалов времени между соседними событиями будет равна
t
e
t
P
l
l
-
=
)
(
. (30.3)
Среднее значение и дисперсия интервалов времени соответственно равны
l
1
=
t
m
, (30.4)
2
1
l
=
t
D
. (30.5)
Если в простейшем потоке сохранить только каждое
k
-ое событие, а остальные убрать, то получим поток Эрланга
k
-го
порядка. Например, поток Эрланга второго порядка получим, если из простейшего потока выбросить каждое второе сообщение
(рис.30.1.) .
Рис.30.1 Поток Эрланга 2 –го порядка.
Для такого потока плотность вероятностей интервалов времени между оставшимися событиями имеет вид
=
)
(
t
P
k
(
)
t
k
e
k
t
Ч
-
Ч
l
l
l
!
. (30.6)
Среднее значение и дисперсия интервалов времени соответственно равны
;
)
(
l
k
m
k
t
=
(30.7)
2
)
(
l
k
D
k
t
=
. (30.8)
Класс потоков Эрланга в зависимости от порядка
k
изменяется от простейшего (
k
= 1) до регулярного (
k
> ?).
30.2. Время обслуживания
Важнейшей характеристикой системы массового обслуживания, определяющей её пропускную способность, является время
обслуживания сообщения. В общем случае время обслуживания является случайной величиной с определённым законом
распределения.
При теоретических исследованиях и на практике широкое распространение получил показательный закон распределения вида
t
e
t
F
m
-
-
=
1
)
(
, (30.9)
где м – интенсивность обслуживания заявки
м =
___
1
обс
t
, (30.10)
где
____
обс
t
- среднее время обслуживания.
Плотность вероятностей времени обслуживания имеет вид:
t
e
t
P
m
m
-
=
)
(
. (30.11)
Этот закон обладает следующими свойствами: если в какой – то интервал происходит обслуживание заявки, то закон
распределения оставшегося времени обслуживания остаётся показательным.
Показательный закон предполагает, что значительная часть заявок обслуживается достаточно быстро, т.е. время обслуживания
мало (рис.30.2.)
Рис.30.2. Показательный закон распределения.
Ряд аналитических зависимостей для процессов, происходящих в СМО, получены при произвольном законе
распределения длительности обслуживания. Эти зависимости можно анализировать при условии, что известны такие
характеристики, как математическое ожидание (
обс
t
) и второй начальный момент (
обс
2
t
) времени обслуживания.
30.3. Классификация систем массового обслуживания
.
Для систем массового обслуживания существенными характеристиками, осуществляющими процессы, являются:
- тип входящего потока заявок (простейший, нестационарный и т.п.);
- законы распределения времени обслуживания (показательный, произвольный и т.п.);
- число параллельно включённых каналов обслуживания.
Кроме того, важное значение имеют такие признаки, как структура системы, поведение заявки на входе СМО,
дисциплины обслуживания.
По поведению заявки на СМО различают:
- СМО с отказами, когда заявка, поступившая на обслуживание, получает отказ, если все каналы заняты;
- СМО с ожиданием, в которых заявка, поступившая на обслуживание, покинет систему только в случае её обслуживания.
Принято классифицировать СМО с помощью сокращения А|B|m, где первый символ определяет закон поступления
заявки. Второй символ определяет закон распределения времени обслуживания. Третий символ определяет число
обслуживающих каналов.
Вместо А может быть М, G или D, что обозначает соответственно пуассоновский (М), произвольный (G) или
детерминированный (D) поток поступления заявок. Вместо B может быть М, G или D, что обозначает соответственно
показательный (М), произвольный (G) или детерминированный (D) закон распределения времени обслуживания.
Так, например, система М|M|1 является СМО с пуассоновским входным потоком, показательным законом
распределения времени обслуживания и одним обслуживающим каналом.
В зависимости от организации обслуживания могут быть дисциплины:
- в порядке поступления (первым пришёл, первым обслужен);
- с относительным или абсолютным приоритетом;
- обслуживание заявок случайным образом.
При решении задач, связанных с массовым обслуживанием, большое значение имеет правильный выбор показателя
эффективности, характеризующего случайный процесс.
Так, например, для систем с отказами основными показателями эффективности являются:
- вероятность отказа;
- среднее время обслуживания одним каналом;
- среднее число занятых каналов;
- пропускная способность.
30.4. Одноканальная система массового обслуживания с отказами и показательным законом времени
обслуживания.
Система массового обслуживания типа М|М|1 при ограниченной ёмкости запоминающего устройства представляет систему с
отказами. На вход этой системы поступает простейший поток с интенсивностью л заявок в секунду. Время обслуживания
распределено по показательному закону со средним значением
m
t
1
=
обс
. Примером таких систем является узел коммутации
с одним обслуживающим каналом.
Процесс обслуживания сообщения на узле характеризуется следующими величинами:
-
N
- средним числом сообщений на узле;
-
Тзад
– средним временем задержки сообщений на узле,
-
оч
N
- средним числом сообщений находящихся в очереди.
-
Точ
- средним временем нахождения сообщений в очереди на обслуживании.
Обозначим 0, 1, 2, …
i
состояния СМО, при которых на узле заявки нет (0); одна заявка на обслуживании, очереди нет (1);
одна заявка на обслуживании и одна в очереди (2); одна заявка на обслуживании и (
i
-1) заявки в очереди. Вероятности
нахождения системы в этих состояниях обозначим соответственно
0
P
,
1
P
,
2
P
,
i
P
. Обозначим ёмкость запоминающего
устройства
W
. Такая система может быть представлена в виде диаграммы, изображённой на рис. 30.3.
Рис. 30.3 – Диаграмма состояний системы
Пусть запоминающее устройство переполнено и система находится в состоянии
+1. Тогда в установившемся режиме
справедливо равенство
l
m
w
w
P
P
=
+
1
. (30.12)
Отсюда
m
l
w
w
P
P
=
+
1
. (30.13)
Отношение
r
m
l
=
(30.14)
называют коэффициентом загрузки, обычно
r
<1. Тогда
r
w
w
P
P
=
+
1
. (30.15)
Аналогично можно записать равенство
r
1
-
=
w
w
P
P
. (30.16)
Следовательно, будет справедливо равенство
2
1
1
r
-
+
=
w
w
P
P
(30.17)
Перейдя таким образом к точке, обозначенной 0, получим.
1
0
1
+
+
=
w
w
P
P
r
.
(30.18)
Учитывая, что
е
+
=
=
1
0
1
w
і
i
P
, получим
1
)
...
1
(
...
1
2
0
1
2
1
0
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
w
w
P
P
P
P
P
r
r
r
(30.19)
Откуда
1
2
0
...
1
1
+
+
+
+
+
=
w
P
r
r
r
. (30.20)
Поскольку в знаменателе сумма убывающей геометрической прогрессии, получим соотношение:
2
0
1
1
+
-
-
=
w
Р
r
r
(30.21)
Подставив это выражение в (30.18) получим формулу для вероятности переполнения емкости ЗУ, которая соответствует
вероятности потери сообщения:
1
2
1
1
1
+
+
+
-
-
=
w
w
w
Р
r
r
r
(30.22)
Это соотношение справедливо при с<1.
При с=1 возникает неопределённость, при раскрытии которой получим
2
1
1
+
=
+
w
P
w
. (30.23)
При большой емкости ЗУ выражение (30.22) преобразуется к виду
(
)
1
1
1
+
+
Ч
-
=
w
w
Р
r
r
. (30.24)
Тогда вероятность того, что в системе находится
i
заявок равна
(
)
і
і
Р
r
r
-
=
1
. (30.25)
Используя это выражение найдем среднее число заявок в системе
(
)
(
)
е
е
Ґ
=
Ґ
=
-
Ч
-
=
-
=
0
0
1
1
1
i
i
i
i
i
i
N
r
r
r
r
r
. (30.26)
Для выражения, находящегося под знаком суммы, справедливо равенство
r
r
r
d
d
i
i
i
=
Ч
-
1
Следовательно,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
-
=
-
-
=
ч
ш
ц
з
и
ж
-
-
=
=
ю
э
ь
о
н
м
-
=
-
=
е
е
Ґ
=
Ґ
=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
0
0
d
d
d
d
d
d
N
i
i
i
i
Так как
m
l
r
=
, получим
l
m
l
-
=
N
(30.27)
Среднее время задержки заявки на центре коммутации равно сумме времени ожидания этой заявки в очереди (
Т.оч
) и времени
обслуживания (tобс),
обс
оч
зад
Т
T
t
+
=
. (30.28)
В соответствии с теоремой Литтла
l
N
T
зад
=
. (30.29)
Следовательно,
l
m
-
=
1
зад
T
. (30.30)
Поскольку время обслуживания
m
t
1
=
обс
, среднее время ожидания в очереди на обслуживание будет равно
(
)
l
m
r
l
m
m
l
m
l
m
-
=
-
=
-
-
=
1
1
оч
T
. (30.31)
Воспользовавшись теоремой Литтла получим выражения для определения среднего числа заявок в очереди на обслуживание
r
r
l
m
l
r
l
-
=
-
Ч
=
Ч
=
1
2
оч
оч
Т
N
(30.32)
Определим относительную пропускную способность СМО как отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в
секунду, к среднему числу поступивших за это время заявок. Это отношение определяется по формуле:
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
-
-
=
Ч
-
-
-
=
-
=
w
w
w
w
w
o
Р
C
r
r
r
r
r
(30.33)
Тогда среднее число заявок, обслуженных СМО будет равно
l
r
r
l
Ч
-
-
=
Ч
=
+
+
2
1
1
1
w
w
o
C
C
. (30.34)
При большой ёмкости ЗУ (W> ?) получим
С
о =1 , С = л.
30.5 Одноканальная система массового обслуживания с ожиданием и произвольным законом времени
обслуживания.
Одноканальная СМО с ожиданием и произвольным законом обслуживания обозначается М|G|1.
Предположим, поступающие заявки обслуживаются в порядке их поступления. Обозначим
обсі
t
длительность
обслуживания
i
-ой заявки.
Средняя длительность обслуживания
{
}
обс
обс
М
t
t
=
. Второй момент длительности обслуживания обозначим
{
}
обс
обс
М
2
2
t
t
=
. Тогда в соответствии с формулой Поллачека – Хинчина среднее время ожидания заявки в очереди
будет равно:
(30.35)
Время задержки заявки в СМО определяется по формуле:
(
)
r
t
l
t
t
-
Ч
+
=
+
=
1
2
2
обс
обс
оч
обс
зад
Т
Т
. (30.36)
Применяя теорему Литтла получим выражение для среднего числа заявок в очереди на обслуживание
(
)
оч
N
среднего числа
заявок в системе
(
)
N
.
(
)
r
t
l
l
-
Ч
=
Ч
=
1
2
2
2
обс
оч
оч
T
N
. (30.37)
(
)
r
t
l
r
l
-
Ч
+
=
Ч
=
1
2
2
2
обс
зад
T
N
. (30.38)
Если длительность обслуживания всех заявок одинакова, получим СМО с детерминированным законом времени обслуживания
М|Д|1, для которого характерно равенство
2
2
1
М
обс
=
t
.
Следовательно, будет справедливо равенство:
(
)
r
r
-
=
1
2
2
оч
N
;
(
)
r
r
r
-
Ч
+
=
1
2
2
N
. (30.39)
30.6. Многоканальная система массового обслуживания.
Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания при условии, что входной поток заявок простейший, время их
обслуживания распределено по показательному закону с параметром м, число обслуживающих каналов обозначим m. При этих
условиях такая СМО обозначается M| м| m.
Предположим, что сообщения обслуживаются в порядке их поступления любым из освободившихся каналов. Диаграмма
состояний такой СМО в установившемся режиме изображена на рисунке 30.4.
Рис. 30.4 Диаграмма состояний системы
В установившемся режиме для такой СМО получим следующую систему уравнений:
1
0
Р
Р
Ч
=
Ч
m
l
(
)
2
0
1
2
Р
Р
Р
Ч
Ч
+
Ч
=
+
m
m
m
l
……………….. (30.40)
(
)
1
1
)
1
(
+
-
Ч
Ч
+
+
Ч
=
Ч
+
і
і
і
Р
і
Р
Р
і
m
l
m
l
, при
m
і
Ј
(
)
1
1
+
-
Ч
Ч
+
Ч
=
Ч
+
і
і
і
Р
m
Р
Р
m
m
l
m
l
, при
m
і
>
К этим уравнениям необходимо добавить условие:
е
Ґ
=
=
0
1
і
і
Р
.
(30.41)
Решим эту систему уравнений относительно неизвестных
і
Р
.
Из первого уравнения находим:
0
1
Р
Р
Ч
=
r
(30.42)
Из второго с учётом (30.42) получим:
0
2
2
2
Р
Р
Ч
=
r
(30.43)
Аналогично из 3-го уравнения далее для любого
i
при
і ? m
, получим соотношение:
0
!
Р
і
Р
i
і
r
=
. (30.44)
Поскольку справедливо равенство (30.41), получим:
е
=
=
m
i
i
i
Р
0
0
!
1
r
. (30.45)
Окончательно будет справедлива формула:
е
=
=
m
i
i
m
m
i
m
Р
0
!
!
r
r
. (30.46)
Полученные формулы для определения
0
Р
и
m
Р
называется формулой Эрланга. Если предположить, что в случае занятия
всех
m
каналов заявка получит отказ в обслуживании, то вероятность отказа
отк
P
равна
m
P
. Полученные выше выражения
справедливы для
m
i
Ј
.
Рассмотрим вариант, когда
m
i
Ј
и
m
i
>
. С целью некоторого упрощения полученных выражений обозначим
m
m
r
m
l
r
=
Ч
=
1
. Решая полученную систему уравнений, получим.
(
)
!
1
0
i
m
P
P
i
i
r
Ч
Ч
=
при
m
i
Ј
, (30.47)
!
!
1
0
im
m
P
P
m
i
i
Ч
Ч
=
r
при
m
i
>
, где
m
l
r
Ч
=
m
1
. (30.48)
Вероятность
0
P
можно определить из условия нормировки
е
Ґ
=
=
0
1
і
і
Р
. Подставив значение
i
P
, после преобразования
получим
(
)
(
)
(
)
1
1
1
0
1
0
1
!
!
1
r
r
r
-
Ч
+
=
е
-
=
m
m
i
m
Р
m
m
і
i
. (30.49)
Это соотношение называют С – формулой Эрланга.
Вероятность того, что сообщение будет поставлено в очередь на обслуживание определяется по формуле:
(
)
(
)
(
)
1
1
0
1
1
0
1
!
!
r
r
r
r
-
Ч
Ч
=
Ч
=
=
е
е
Ґ
=
-
Ґ
=
m
m
P
m
m
Р
Р
Р
m
m
i
m
i
m
і
m
і
оч
. (30.50)
Среднее число сообщений, ожидающих очередь на обслуживание равно
(
)
(
)
(
)
1
1
0
1
1
0
0
1
1
!
!
1
r
r
r
r
-
Ч
Ч
=
Ч
=
Ч
=
е
е
Ґ
=
-
Ґ
=
+
m
m
P
m
m
Р
Р
i
N
m
m
i
m
i
m
і
m
оч
. (30.51)
Среднее число сообщений, ожидающих очередь на обслуживание равно:
(
)
1
1
0
1
1
1
1
r
r
r
r
-
=
Ч
-
е
Ґ
=
i
i
i
, (30.52)
получим
1
1
r
r
-
+
=
оч
оч
Р
N
. (30.53)
Используя теорему Литтла, определим среднее время ожидания в очереди:
(
)
1
1
1
r
l
r
l
-
Ч
Ч
=
=
оч
оч
оч
Р
N
Т
. (30.54)
Следовательно, среднее время задержки сообщения будет равно:
. (30.55)
Снова воспользуемся теоремой Литтла, найдём среднее число сообщений в системе:
(
)
r
l
r
m
l
l
-
Ч
Ч
+
=
Ч
=
1
1
оч
зад
Р
Т
N
. (30.56)
Поскольку
m
l
r
m
=
1
, окончательно получим
r
r
r
-
Ч
+
Ч
=
1
1
1
оч
Р
m
N
. (30.57)
30.7. Характеристика бесприоритетных дисциплин обслуживания.
Пусть на вход системы поступает
L
простейших потоков с интенсивностями л1, л2.... лL, если обслуживающий канал занят, то
заявки записываются в ЗУ (рис.30.5).
Рис. 30.5 – Схема организации бесприоритетного обслуживания заявок
Из поступающих потоков формируется один суммарный поток с интенсивностью
е
=
=
L
і
і
1
l
l
. (30.58)
Обслуживание заявок осуществляется в порядке их поступления. Полагаем, что закон распределения времени обслуживания
произвольный. Свойства обслуживающего канала описываются двумя наборами характеристик:
cредним временем обслуживания заявки
i
-го типа
[
]
і
і
обс
обс
М
t
t
=
,
i
= 1,2..,
L
;
величиной второго начального момента времени обслуживания заявки і-го типа
[
]
і
і
обс
обс
М
2
2
t
t
=
і = 1,2..,
L
.
Коэффициент загрузки канала заявками
i
-го типа равен
і
і
обс
і
і
і
m
l
t
l
r
=
Ч
=
. (30.59)
Тогда общая загрузла канала заявками всех типов будет равна
е
=
=
L
i
i
R
1
r
. (30.60)
Получим выражение для среднего времени ожидания заявок в очереди. Допустим, что в произвольный момент времени в
очереди уже находились
l1, l2…lL
заявок типа 1,2,…
L
и поступила заявка
j-
го типа. Тогда время ожидания этой заявки равно:
е
=
+
=
L
і
і
оч
Т
Т
1
0
t
, (30.61)
где
0
t
- время, необходимое для завершения дообслуживания заявки, уже находившейся на обслуживании;
Т
і – суммарное время обслуживания заявки
і
-го типа также находящихся в очереди.
Выполнив операцию усреднений, получим:
[
]
[
]
е
=
+
=
L
і
і
оч
Т
М
М
Т
1
0
t
. (30.62)
Воспользовавшись формулой Поллачека – Хинчиеа в соответствии с (30.35) это выражение приводится к виду:
(
)
е
=
Ч
-
Ч
=
L
i
обс
i
оч
і
R
Т
1
2
1
2
1
t
l
. (30.63)
Таким образом, в системе с бесприоритетной дисциплиной обслуживания среднее время ожидания в очереди всех типов заявок
одинаково. Среднее время задержки в системе заявки
і
-го типа равно:
і
обс
оч
задi
Т
Т
Т
+
=
. (30.64)
Тогда среднее время задержки заявки любого типа равно средневзвешеном от
по всем потокам:
(
)
е
е
=
=
+
=
L
і
зад
оч
і
М
і
і
зад
і
Т
Т
Т
1
1
1
1
l
l
. (30.65)
Далее по теореме Литтла найдём среднее число заявок в системе:
(
)
е
=
+
Ч
=
=
L
і
зад
оч
і
зад
зад
і
Т
Т
Т
Т
N
1
l
l
. (30.66)
Аналогично получим формулу для среднего числа заявок в очереди:
оч
оч
Т
N
Ч
=
l
. (30.67)
30.8 Характеристика дисциплины обслуживания разнородных сообщений с относительным приоритетом
.
Пусть на вход СМО поступает простейший поток из б типов заявки с интенсивностями
л1, л2.... лб
, приоритету соответствует
меньшее значение индекса. Вновь поступившая заявка с приоритетом
j
становится в очередь заявки этого же приоритета. В
результате для каждого типа заявки существует своя очередь, В которой обслуживание производится в порядке поступления
после завершения обслуживания очередной заявки, диспетчер выбирает первую заявку из очереди с наивысшим приоритетом
(рис. 30.6).
Рис.30.6 Схема организации обработки заявок с относительным приоритетом
Средние значения длительности обслуживания обозначим
1
обс
t
,
2
обс
t
,...,
a
t
обс
, а вторые начальные моменты
1
2
обс
t
,
2
2
обс
t
,...,
a
t
обс
2
.
Время обслуживания вновь поступившей заявки с приоритетом б0 определяется из выражения
е
е
-
=
=
+
+
=
1
1
'
0
0
0
0
a
a
t
і
і
і
і
оч
Т
Т
Т
, (30.68)
где ф0 – время дообслуживания заявки, уже находившейся на обслуживании;
Т
і – суммарное время обслуживания заявок
і
-го проритета, находившегося уже в очереди;
Т
і’ - суммарное время обслуживания заявок, имеющих приоритет больший б0 и поступивших после заявки с приоритетом б0.
Усреднив это выражение для произвольного б получим
(
)
(
)
a
a
a
t
l
a
R
R
Т
і
обс
і
оч
і
-
-
Ч
Ч
=
-
=
е
1
1
2
1
1
2
, (30.69)
где
е
-
=
-
=
1
1
1
a
a
r
i
i
R
;
е
=
=
a
a
r
1
i
i
R
. (30.70)
В соответствии с теоремой Литтла можно определить среднее число заявок, находящихся в очереди на обслуживании
е
=
Ч
=
a
l
a
1
і
і
оч
оч
Т
N
. (30.71)
30.9 Характеристика дисциплины обслуживания сообщений с абсолютным приоритетом.
Пусть на вход СМО поступает простейший поток из б типов заявок с интенсивностями л1, л2.... лб, где
a
- индекс означает
приоритет этих заявок. Как и для предыдущей дисциплины для каждого приоритета организуется очередь, в которой заявки
располагаются в порядке поступления. Предположим, обслуживается заявка
j
-го приоритета. На вход системы поступает заявка
і
-го приоритета. Если
i
>
j
, то поступившая заявка ставится в очередь заявок с таким же приоритетом. При
i
<
j
обслуживание
заявки
j
-го приоритета прекращается и начинается обслуживание заявки
і
-го приоритета. После завершения обслуживание
заявки
і
-го приоритета производится дообслуживание заявки
j
-го приоритета, если не поступила новая заявка с более высоким
приоритетом.
Среднее время ожидания заявки приоритета
равно
,
где
a
н
Т
и
a
п
Т
соответственно среднее время ожидания начала обслуживания среднее время возможного ожидания в
прерванном состоянии.
Время
a
н
Т
представляет суммарное время ожидания окончания обслуживания всех заявок более высшего приоритета и
заявок приоритета
a
, уже находившихся в очереди. Это время определяется по формуле (30.17). Суммарное среднее время
ожидания в прерванном состоянии за счёт обслуживания всех заявок с приоритетом выше
б
, поступивших за время
обслуживания заявки приоритета
б
равно
(
)
1
1
1
-
-
-
=
a
a
a
a
t
R
R
Т
обс
п
. (30.72)
В результате среднее время ожидания заявки приоритета
б
можно определить из выражения
(
)
(
)
1
1
1
1
2
1
1
1
2
-
-
-
=
-
Ч
+
-
-
Ч
Ч
=
е
a
a
a
a
a
a
a
t
t
l
R
R
R
R
Т
обс
і
обс
і
оч
і
. (30.73)
Среднее число заявок в очереди определяется также, как и для дисциплины с относительным приоритетом. Для сравнительной
оценки бесприоритеных дисциплин, с относительным и абсолютным приоритетом на рисунке 30.7 приведены качественные
зависимости времени ожидания обслуживания заявок от их приоритета.
Рис.30.7 – Зависимость времени ожидания в очереди от приоритета
Из этих зависимостей видно, что дисциплина обслуживания с абсолютным приоритетом в лучшей степени удовлетворяет
требованиям по ограничению задержек высокоприоритетных сообщений за счёт увеличения задержек высокоприоритетных
сообщений за счёт увеличения задержек сообщений с низким приоритетом.
